Автор дает на конкретном примере описание технологии планирования эксперимента, отмечая при этом, что применяемые математические модели позволяют сократить количество опытов или получить более точное описание изучаемого объекта.

УДК 666.97; 691.32

Д.С. СТАРЧУКОВ, докторант, ВКА имени А.Ф. Можайского, г. Санкт-Петербург

Ключевые слова: математическая модель, модифицирование, бетон, кремнезоль, твердение, цемент
Keywords: mathematical model, modification, concrete, silica sol, hardening, cement

Главная цель планирования эксперимента заключается в уменьшении количества опытов при достаточной точности описания свойств изучаемого объекта, при этом сокращаются затраты времени и ресурсов (трудовых, материальных, финансовых), необходимых для проведения опытов [1-4]. Традиционный метод получения информации состоит в наблюдении за реакцией (откликом) исследуемого объекта при небольших изменениях сначала одного воздействия, затем другого и т.д. При этом все остальные параметры, влияющие на процесс, остаются постоянными. Оптимальное планирование эксперимента предполагает одновременное изменение нескольких воздействий, влияющих на процесс, что позволяет либо уменьшить количество опытов, либо дать более точное описание изучаемого объекта.

Выполним расчет моделей зависимости прочности при сжатии бетона Rсж, МПа для четырех видов цемента в возрасте 3 и 28 суток для следующих исходных данных: портландцемент, напрягающий цемент, расширяющийся цемент и глиноземистый цемент, причем марка всех видов цемента – М400, класс бетона для всех видов цемента – В30.

Варьируемые факторы:

1. Х1 – концентрация кремнезоля, %;

2. Х2 – расход цемента, кг/м³;

3. Х3 – температура тепловой обработки образцов после пропитки кремнезолем, °С.

Представим значения факторов в табличной форме (табл. 1).

Таблица 1. Исходные данные

Код	Значение кода	Значения факторов
		х1	х2	х3
Нижний уровень	хмин	1,5	450	40
Верхний уровень	хмакс	4,5	750	80
Основной уровень	х0	3	600	60
Интервал варьирования	dx	1,5	150	20

Далее запишем в табл. 2 для трехфакторного эксперимента [1, 2] натуральные значения переменных прочности при сжатии в каждом опыте.

Таблица 2. Полный факторный эксперимент (ПФЭ)

№ опыта	х0	х1	х2	х3	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	y8
1	+	+	+	+	108	109	72	97	369	369	246	204
2	+	—	+	+	103	102	86	93	348	348	294	318
3	+	+	—	+	108	106	78	104	366	366	266	344
4	+	—	—	+	105	106	81	109	356	356	268	362
5	+	+	+	—	112	114	90	101	389	389	306	330
6	+	—	+	—	113	111	90	100	379	379	298	339
7	+	+	—	—	111	111	95	89	367	367	320	316
8	+	—	—	—	90	91	77	87	297	297	255	289
9	+	0	0	0	142	143	95	134	486	464	320	452
10	+	-1,215	0	0	114	122	92	103	389	350	304	339
11	+	1,215	0	0	118	141	84	102	397	405	284	301
12	+	0	-1,215	0	116	101	75	96	397	342	255	326
13	+	0	1,215	0	116	111	87	92	397	369	295	305
14	+	0	0	-1,215	133	133	104	134	433	441	360	452
15	+	0	0	1,215	144	130	98	149	486	430	324	411

Необходимо отметить, что выбранные факторы должны быть независимыми и совместимыми. Это означает, что факторы не должны быть функциями других факторов, должна существовать возможность установления фактора на выбранных уровнях независимо от уровней других факторов, а все комбинации уровней факторов должны давать осуществимые и безопасные для объекта режимы. Сочетание определенных уровней всех факторов называется точкой плана. Число точек в плане эксперимента – это количество проводимых опытов. Для снижения влияния помех в точках плана может быть проведено несколько измерений (повторений опытов).

Пусть в результате N проведенных опытов с различными уровнями факторов x1i, x2i,…, xki получены значения откликов yi. Математической моделью объекта является функция:

, (1)

которая принимает значения, мало отличающиеся от величин отклика yi в точках плана.

Прежде всего требуется задать общий вид функции (1). В планировании экспериментов функция отклика представляется следующим многочленом:

(2)

Параметр b0 функции (2) называется свободным членом уравнения, bj – линейными эффектами (j=1÷k), bji – эффектами парного взаимодействия (i ≠ j), bjj – квадратичными эффектами и т.д. Модель не должна быть слишком сложной. Чем больше параметров в модели, тем больше опытов придется провести, чтобы их найти, а планирование эксперимента предполагает уменьшение количества опытов. Чтобы упростить модель, некоторые параметры сразу приравнивают к нулю. Обычно сначала изучается простейшая линейная модель:

, (3)

с k+1 неизвестными параметрами bj.

Параметры bj определяются методом наименьших квадратов (МНК). Сочетание МНК и методов статистической проверки гипотез с оценкой точности и надежности полученного результата при наличии помех называется регрессионным анализом [2]. Построенная по результатам опытов функция (3) называется регрессионной.

Если значения у функции (3) значительно отличаются от экспериментальных откликов, то следует добавить слагаемые в функцию (3). Например, взаимодействие факторов имеет место тогда, когда эффект изменения одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. Квадратичная модель второго порядка:

(4)

содержит [2] уже (k+1)·(k+2)/2 неизвестных параметра, т.е. является существенно более сложной по сравнению с линейной моделью.

После выбора конфигурации функции (2) построение математической модели сводится к определению параметров уравнения многочлена по результатам опытов. Существенный выигрыш в достоверности и точности модели дает как оптимальное планирование эксперимента, так и рациональная обработка результатов измерений. Выбирая план эксперимента, необходимо определить, какие сочетания уровней факторов следует реализовать. Оптимальным является план, в котором без потери нужной информации о функции (2) удается уменьшить количество опытов, отсекая малосущественные.

Факторы, как правило, имеют различную физическую природу и размерность, а опыты нередко проводятся только на двух уровнях факторов xHj и xBj Для упрощения обработки результатов эксперимента уровни факторов нормализуются, т.е. центрируются и нормируются. За нулевой (начальный, основной) принимается уровень х0j, соответствующий середине интервала [xHj, xBj]:

(5)

Если для каждого фактора выбрать интервал варьирования:

, (6)

то прибавление Δxj к нулевому уровню дает верхний уровень xBj, а вычитание – нижний уровень xHj фактора. Линейное преобразование

(7)

переменных x1, x2, …, xk дает возможность перейти к новой системе координат , в которой функция (2) принимает вид:

(8)

При значениях фактора уровни исходных факторов становятся равными xBj и xHj, соответственно. Следовательно, для всех безразмерных и нормированных факторов в новой системе координат верхний уровень равен +1, нижний уровень равен –1, а координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат.

С геометрической точки зрения нормализация факторов равноценна линейному преобразованию пространства факторов, при котором производится перенос начала координат в точку, отвечающую основным уровням, и сжатие-растяжение пространства в направлении координатных осей. Нормализация переменных существенно упрощает построение математической модели объекта. После построения модели с нормированными факторами и ее оценки можно вернуться к многочлену (2) с натуральными факторами, используя нормирующие соотношения

(9)

Расчет коэффициентов для модели с нормированными факторами представлен в табл. 3. Расчет коэффициентов для нелинейной модели с натуральными факторами представлен в табл. 4.

Таблица 3. Коэффициенты для модели с нормированными факторами

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8
а0	141,02	140,8946	95,67866	130,2669	478,3636	438,6574	322,8872	421,0573
а1	3,000242	4,846861	-0,79617	0,071673	11,02219	16,23609	-0,11869	-14,6241
а2	2,008683	3,118024	1,970335	-0,26113	9,039073	12,03429	7,632995	-13,2861
а3	1,037667	-0,69802	-3,86124	4,037909	6,518633	-0,58115	-13,5805	-8,74827
а12	-2,5	-1,25	-3,625	1	-6,125	-6,125	-12,875	-16,5
а13	-1,5	-2	-4,375	-0,5	-6,125	-6,125	-15,375	-18,75
а23	-3,25	-3	-1,125	-6	-13,625	-13,625	-2,875	-31
а11	-16,7122	-5,8847	-5,3463	-17,9606	-56,0654	-35,7538	-20,1879	-61,5139
а22	-16,7122	-23,1469	-10,085	-23,7147	-53,3576	-50,6466	-33,0499	-64,5602
а33	-1,48088	-5,8847	3,454041	8,440397	-11,0482	3,509318	12,30568	13,96595

Таблица 4. Коэффициенты для нелинейной модели с натуральными факторами

	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8
b0	-291,701	-384,029	-119,435	-323,26	-1026,06	-811,236	-395,215	-1240,13
b1	56,23283	26,25711	32,1427	46,27615	185,4391	134,7508	118,8386	235,7877
b2	1,003045	1,331956	0,621833	1,36971	3,260164	3,13555	2,042717	4,194637
b3	1,296149	2,53051	-0,56677	-1,08022	6,977895	2,255647	-2,25823	3,447802
b12	-0,01111	-0,00556	-0,01611	0,004444	-0,02722	-0,02722	-0,05722	-0,07333
b13	-0,05	-0,06667	-0,14583	-0,01667	-0,20417	-0,20417	-0,5125	-0,625
b23	-0,00108	-0,001	-0,00038	-0,002	-0,00454	-0,00454	-0,00096	-0,01033
b11	-7,42767	-2,61542	-2,37614	-7,98251	-24,9179	-15,8906	-8,9724	-27,3395
b22	-0,00074	-0,00103	-0,00045	-0,00105	-0,00237	-0,00225	-0,00147	-0,00287
b33	-0,0037	-0,01471	0,008635	0,021101	-0,02762	0,008773	0,030764	0,034915

Далее получим регрессионные модели (при этом члены уравнения с нулевыми коэффициентами отбрасываем) и проверим их адекватность.

1. Регрессионная модель зависимости прочности при сжатии Rсж, МПа, для портландцемента в возрасте 3 суток, от следующих факторов: Х1 – концентрация раствора кремнезоля, %; Х2 – расход цемента, кг/м³; Х3 – температура последующей тепловой обработки образца, °С.

y1=-291,7+56,2х1+1х2+1,3х3-0,05х1х3-0,001х2х3. (10)

Проверка адекватности полученной модели представлена в табл. 5.

Таблица 5. Модель 1 для безразмерных факторов

№ опыта	Прогноз Y	Y	Погрешн.	Погрешн., %
1	105	108	3,0888	2,86%
2	107	103	3,9107	3,80%
3	112	108	4,3938	4,07%
4	104	105	0,6067	0,58%
5	112	112	0,3358	0,30%
6	108	113	4,6646	4,13%
7	107	111	4,1815	3,77%
8	93	90	2,818	3,13%
9	141	142	0,98	0,69%
10	113	114	1,2964	1,14%
11	120	118	1,9942	1,69%
12	114	116	2,0916	1,80%
13	119	116	2,7895	2,40%
14	138	133	4,5731	3,44%
15	140	144	3,9054	2,71%
			Ср. =	2,43%

Средняя ошибка аппроксимации А=2,43%.

2. Регрессионная модель зависимости прочности при сжатии Rсж, МПа, для расширяющегося цемента в возрасте 3 суток, от следующих факторов: Х1 – концентрация раствора кремнезоля, %; Х2 – расход цемента, кг/м³; Х3 – температура последующей тепловой обработки образца, °С.

y2=-384+26,3х1+1,3х2+2,53х3-0,0667х1х3-0,001х2х3. (11)

Аналогично средняя ошибка аппроксимации А=2,19%.

3. Регрессионная модель зависимости прочности при сжатии Rсж, МПа, для глиноземистого цемента в возрасте 3 суток, от следующих факторов: Х1 – концентрация раствора кремнезоля, %; Х2 – расход цемента, кг/м³; Х3 – температура последующей тепловой обработки образца, °С.

y3=-119,4+32,1х1+0,6х2-0,6х3-0,1458х1х3-0,0004х2х3. (12)

Аналогично средняя ошибка аппроксимации А=2,04%.

4. Регрессионная модель зависимости прочности при сжатии Rсж, МПа, для напрягающего цемента в возрасте 3 суток, от следующих факторов: Х1 – концентрация раствора кремнезоля, %; Х2 – расход цемента, кг/м³; Х3 – температура последующей тепловой обработки образца, °С.

y4=-323,3+46,3х1+1,4х2-1,1х3-0,0167х1х3-0,002х2х3. (13)

Аналогично средняя ошибка аппроксимации А=1,63%.

5. Регрессионная модель зависимости прочности при сжатии Rсж, МПа, для портландцемента в возрасте 28 суток, от следующих факторов: Х1 – концентрация раствора кремнезоля, %; Х2 – расход цемента, кг/м³; Х3 – температура последующей тепловой обработки образца, °С.

y5=-1026+185х1+3,3х2+6,98х3-0,2042х1х3-0,005х2х3. (14)

Аналогично средняя ошибка аппроксимации А=2,88%.

6. Регрессионная модель зависимости прочности при сжатии Rсж, МПа, для расширяющегося цемента в возрасте 28 суток, от следующих факторов: Х1 – концентрация раствора кремнезоля, %; Х2 – расход цемента, кг/м³; Х3 – температура последующей тепловой обработки образца, °С.

y6=-665,1+49,5х1+2,5х2+7,83х3-0,2042х1х3-0,005х2х3. (15)

Аналогично средняя ошибка аппроксимации А=2,56%.

7. Регрессионная модель зависимости прочности при сжатии Rсж, МПа, для глиноземистого цемента в возрасте 28 суток, от следующих факторов: Х1 – концентрация раствора кремнезоля, %; Х2 – расход цемента, кг/м³; Х3 – температура последующей тепловой обработки образца, °С.

y7=-395,2+119х1+2х2-2,3х3-0,5125х1х3-0,001х2х3. (16)

Аналогично средняя ошибка аппроксимации А=1,83%.

8. Регрессионная модель зависимости прочности при сжатии Rсж, МПа, для напрягающего цемента в возрасте 28 суток, от следующих факторов: Х1 – концентрация раствора кремнезоля, %; Х2 – расход цемента, кг/м³; Х3 – температура последующей тепловой обработки образца, °С.

y8=-1240+236х1+4,2х2-3,45х3-0,625х1х3-0,01х2х3. (17)

Аналогично средняя ошибка аппроксимации А=2,93%.

Выводы:

1. Для выборки в 15 значений величина средней ошибки аппроксимации находится в допустимых пределах, полученные уравнения регрессии адекватны, и, следовательно, их можно использовать при подборе состава высокопрочного бетона в дальнейших экспериментальных исследованиях.

2. Полученные уравнения регрессии позволяют на начальном этапе значительно сузить область, в которой будут проводиться дальнейшие исследования по вопросам получения высокопрочного бетона повышенного качества, области определения его рационального состава, а также уменьшить количество дальнейших экспериментов.

Библиографический список

1. Руководство по подбору составов тяжелого бетона / НИИЖБ. – М.: Стройиздат, 1979, – 104 с.

2. Сеньченков В.И. Статистические методы обработки экспериментальных данных. – СПб.: ГУАП, 2006, – 244 с.

3. ГОСТ 24026-80 Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения.

4. Бююль А., Цёфель П. SPSS: искусство обработки информации. Анализ статистических данных и восстановление скрытых закономерностей. – М. – СПб. – Киев, 2005, – 603 с.