Для анализа напряженного состояния прочности реальных материалов обычно используются методы механики сплошной среды. Однако для случая материалов с системой трещин применение гипотезы о сплошности материала требует специального обоснования. В настоящей статье делается попытка в первом приближении установить критерий квазиоднородности, т.е. степень трещиноватости, выше которой возможно применение механики сплошной среды, а ниже – теории дискретной среды [1].

УДК 699.8

Б.В. ГУСЕВ, доктор техн. наук, профессор, член-корр РАН, Московский государственный университет путей сообщения (МГУПС), Д.В. КУПРИЯНОВ, Т.В. ЛИТВИНОВСКИЙ, Т.В. ПАДАЛКИНА, аспиранты МГУПС

Принято, что при некотором соотношении размеров образца и структурных элементов дальнейшее увеличение степени трещиноватости не вызовет изменения механических характеристик среды. Это соотношение и будет принято в качестве критерия квазиоднородности. Для этой цели нами выполнены измерения скорости распространения колебаний в составных образцах, а также прочности таких образцов.

Рассмотрим процесс распространения плоской волны в составном образце (рис. 1). Средняя скорость распространения колебаний в нем V0 определится как частное от деления длины образца L на время Т, за которое колебания, возбуждаемые на одном конце образца, достигнут приемника, расположенного на другом конце образца. Тогда, полагая, что образец состоит из n структурных элементов длиной l, в которых колебания распространяются со скоростью Vэ, и принимая, что время, необходимое для прохождения волной трещины, равно θ, получаем:

(1)

Из уравнения (1) можно определить отношение скорости распространения продольных волн в образце к скорости распространения волн в структурном элементе, учитывая (L/l=n), (l/Vэ=tэ) в пределе ((n–1)/n)→1 получим:

(2)

Таким образом, скорость распространения колебаний в трещиноватом массиве при увеличении числа структурных элементов стремится к определенному пределу, составляющему некоторую долю от скорости распространения колебаний в структурном элементе:

(3)

Измерения скорости распространения продольных колебаний в составных образцах, состоящих из гипсобетонных пластин и кубиков, проводились с помощью ультразвуковой установки. С одной стороны составного образца прикладывался импульсный возбудитель колебаний (на рис. 1 обозначен стрелкой). Приход волны регистрировался на другом конце образца с помощью сейсмоприемника. Длина составного образца изменялась путем добавления кубиков и, таким образом, получались различные величины степени трещиноватости (отношение L/l).

Результаты измерения скорости продольных волн представлены на рис. 2, где по оси ординат откладываются относительные значения продольных волн в образце к скорости в структурном элементе V0/Vэ, а по оси абсцисс – степень трещиноватости (L/l). Видно, что при малых значениях степени трещиноватости V0/Vэ быстро уменьшается, а затем кривая выполаживается и стремится к некоторому пределу, причем при n=L/l=10–15 несущественно отличается от этого предела.

Рассмотрим прочность трещиноватого образца как суммарную прочность элементов по поверхности разрушения. В этом случае вероятность Р0 попадания m структурных элементов на некоторую поверхность F подчиняется распределению Пуассона [2]:

(4)

Здесь n – среднее число структурных элементов, попадающих на поверхность F. Очевидно, n=(L/l)2, где L/l – отношение линейных размеров поверхности F и структурного элемента. В этом случае математическое ожидание М(Rm) и дисперсия D(Rm) величины m равны n.

Учитывая, что M(Rm)=n, а , получим для коэффициента вариации прочности трещиноватого массива выражение:

(5)

Здесь M(Rm) – математическое ожидание, a – среднее квадратическое отклонение прочности.

Отсюда видно, что при увеличении степени трещиноватости коэффициент вариации прочности уменьшается. Начиная с некоторого L/l, им можно пренебречь и оперировать средним установившимся значением прочности. На основании изложенного естественно предположить, что прочность трещиноватого образца можно представить в виде:

, (6)

где a и b – постоянные, имеющие размерность напряжения.

Для проверки этой зависимости были проведены испытания составных образцов на одноосное сжатие. Образцы собирались из гипсопесчаных кубиков размерами 2х2х2 см. Прочность материала кубиков σэ в разных сериях опытов варьировалась путем изменения состава. Результаты опытов представлены на рис. 3, где по оси ординат принято отношение прочности составного образца σ0 к прочности кубика, а по оси абсцисс – степень трещиноватости L/l. Видно, что начиная с некоторого значения степени трещиноватости величина σ0/σэ остается практически постоянной. Это согласуется также с результатами экспериментов по изменению скорости распространения колебаний в составных образцах.

Обработка многочисленных экспериментальных данных показала, что наиболее подходящим для описаний изменения прочности составных образцов в зависимости от степени трещиноватости является уравнение (7):

(7)

Показатель степени β получается несколько меньшим единицы. Для скорости распространения колебаний вид уравнения получился аналогичным (7). Таким образом, величина критерия квазиоднородности может быть принята равной 10-15 от величины соотношения размера образца к структурному элементу, а иногда и 5-7 – для ориентировочных определений.

Библиографический список

1. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. – М.: Стройиздат, 1965, – 279 с.

2. Венцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1964, – 573 с.