В статье описывается математический анализ процесса самопроизвольного впитывания жидкости пористыми волокнистыми средами. В результате получена зависимость высоты подъема жидкости от пористости материала.

УДК 677.026.424:625.877(043.3)

Ю.М. ТРЕЩАЛИН, канд. техн. наук, материаловед-исследователь, инженер

Ключевые слова: структура, нетканый материал, впитывание, пористость, высота подъема жидкости
Keywords: structure, nonwoven, absorption, porosity, height lifting fluid

Зависимость высоты поднятия жидкости в пористом волокнистом материале от времени, как один из возможных вариантов, может быть выражена следующей функцией:

F(x)=(x – D)·e-a(x-D)+C,

где х=τ – время насыщения материала; F(x)=h(τ) – высота подъема жидкости в момент времени τ; D, a, C – константы, учитывающие способ производства и пористость материала, вид и степень гладкости волокнистого состава.

Функция F(х) является унимодальной, т.е. существует единственный экстремум x*>0, при котором F(x) достигает максимума, который определяется из необходимого условия существования экстремума:

Из этого уравнения точка экстремума х* и значение функции в этой точке F(x*):

— в диапазоне от 0 до ∞ F(х) имеет следующие значения:

F(x=0)=0 и F(x→∞)=y (1)

При проведении математического анализа предполагается, что в точке x* достигается минимум функционала:

(2)

где f(x) – некоторая функция, выбранная из физических соображений, идеально описывающая процесс впитывания вязкой жидкости волокнистым материалом и удовлетворяющая следующим условиям:

Совместное расположение функций F(x) и f(x) представлено на рис. 1. Заштрихованная площадь между графиками функций F(x) и f(x) соответствует условиям (2).

Функционал (2) можно записать в виде:

, (3)

где

.

Из условия (1) выражается система:

,

которая дает возможность определить уравнение связи параметров y=D·ea·D.

С целью оценки адекватности выбранной функции F(x) исследуемому физическому процессу проведен анализ влияния коэффициентов D, a, C на поведение функции F(x), а также значения x* и F(x*). В результате установлено:

1. Численное значение коэффициента С, как следует из уравнения C=D·ea·D, зависит от величин D и a.

2. При соотношении коэффициентов:

— a << D – изменяется характер расположения кривой функции F(x) и точка экстремума x*→∞ (рис. 2а). Если численные значения a и D одного порядка, но a<D, экстремум функции смещается к нулю (рис. 2б). Соответственно, изменяется и величина F(x)max.

— a >> D – изменяется численное значение F(х*), но характер расположения кривой функции F(x) остается практически постоянным. Точка экстремума находится в интервале 0≤x*≤1 и, чем больше a превышает значения D, тем ближе к нулю располагается точка экстремума x* (рис. 3).

3. Равенство коэффициентов D и a оказывает влияние на характер расположения кривой функции F(x): точка экстремума x* с уменьшением D и a смещается к 0, а величина F(х*) возрастает (рис. 4). Коэффициент С при значениях a и D в интервале 0,0001÷0,4 приблизительно равен D и a (С=0,0001÷0,469), но с увеличением D и а больше 0,5 резко возрастает (например, при D=1 и a=1, С=2,718; а при D=2 и a=2, С=109,196).

4. Варьирование одного из коэффициентов (a или D) при фиксированных значениях другого (D или a) не оказывает существенного влияния на характер расположения кривой функции F(x), но точка экстремума смещается по оси абсцисс, и F(х*) изменяется на несколько порядков.

Проведенный анализ различных сочетаний численных значений коэффициентов пропорциональности в уравнении F(x)=(x – D)·e-a·(x-D) + C позволяет сделать вывод о правильности выбранной функции F(x) для математического описания кинетики впитывания жидкости волокнистым материалом, что подтверждается экспериментальными данными [1-3]. В результате постановка задачи формулируются следующим образом: в диапазоне изменения 0≤х≤∞ значение х=х* имеет место при максимальной высоте впитывания F(х)=y, которая остается постоянной F(х)=y=const при х=х* (рис. 1). Фактически задача сводится к аналитическому определению математических выражений, позволяющих вычислить неизвестные D, y, a.

Для решения (2) необходимо проинтегрировать уравнение (3), после чего определить условия для нахождения искомого минимума функционала.

Первоначально вычисляются вспомогательные неопределенные интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

, (4)

где u=x; dw=e-a·x

, (5)

где u=x2; dw=e-a·x

Выражения (4) и (5) позволяют произвести интегрирование выражений для В и А в уравнении (3).

Уравнение для определения В после преобразований имеет вид:

Выражение для вычисления интеграла А:

где:

Необходимое условие минимума функционала (3) выполняется при решении следующей системы уравнений:

Первоначально вычисляется производная Ψ по a:

(6)

При дифференцировании учитывается уравнение связи у=D·ea·D. Тогда справедливо соотношение: dy=ea·D (1+a·D)·dy. Отсюда следует, что производная имеет вид: . Тогда:

(7)

Библиографический список

1. Трещалин М.Ю. Исследование процесса капиллярного подъема жидкости в нетканых материалах / М.Ю. Трещалин, В.С. Мандрон, Г.К. Мухамеджанов. – Известия вузов. Технология текстильной промышленности, № 4С, 2009, с. 24-26.

2. Браславский В.А. Капиллярные процессы в текстильных материалах. – М.: Легпромбытиздат, 1987, – 112 с.

3. Тучинский Л.И. Композиционные материалы, получаемые методом пропитки. – М.: Металлургия, 1986, – 208 с.